Camgora.ru

Автомобильный журнал
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

ЗАКОНЫ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

ЗАКОНЫ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

x = A cos(wt+j),

где х — смещение; А -амплитуда колебаний; w — угловая или циклическая частота; j — начальная фаза.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

u = -Aw sin(wt+j); a = —Aw 2 cos(wt+j).

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

б) начальная фаза результирующего колебания

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях,

x = A1 coswt; y = A2 cos(wt+j);

а) если разность фаз j=0;

б) если разность фаз j=±p;

в) если разность фаз j=±p/2.

Уравнение плоской бегущей волны

где y смещение любой из точек среды с координатой x в момент t;

u скорость распространения колебаний в среде.

Связь разности фаз Dj колебаний с расстоянием Dxмежду точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний;

где l — длина волны.

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z

где Мz — результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело; e — угловое ускорение; Jz — момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню,

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

где R — радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z,

где w — угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,

= const,

где Jz — момент инерции системы тел относительно оси z; w — угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

или

или

где mo — масса покоя частицы; u — ее скорость; с — скорость света в вакууме; b — скорость частицы, выраженная в долях скорости света

Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы

или

где Ео=mос 2 — энергия покоя частицы.

Полная энергия свободной частицы

где Т — кинетическая энергия релятивистской частицы.

Кинетическая энергия релятивистской частицы

или

Импульс релятивистской частицы

или

Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы

Примеры решения задач

Пример 1. Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5 м и массой m1=180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n=10 мин -1 . В центре платформы стоит человек массой m2=60 кг. Какую линейную скорость u относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция Lz момента импульса системы платформа-человек остается постоянной:

const, (1)

где Jz — момент инерции платформы с человеком относительно оси z;

w — угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии а в конечном состоянии .

С учетом этого равенство (1) примет вид

(2)

где значения моментов инерции J1 и J2 платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы; и — к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: . Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J2 в начальном состоянии (в центре платформы)можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека

Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (w = 2pn) и конечной угловой скорости (w ‘ = u/R, где u — скорость человека относительно пола):

После сокращения на R 2 и простых преобразований находим скорость

м/с.

Пример 2. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2с. Полная энергия колеблющейся частицы Е = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы Fmax, действующей на частицу.

Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:

где w = 2p/Т. Отсюда амплитуда

(1)

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F = -kx, где k — коэффициент квазиупругой силы; х — смещение колеблющейся точки. Максимальной сила будет при максимальном смещении xmax, равном амплитуде:

Коэффициент k выразим через период колебаний:

k = mw 2 = m×4p 2 /T 2 . (3)

Подставив выражения (1) и (3) и (2) и произведя упрощения, получим

0,045 м = 45 мм;

Пример 3.Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями

где А1 = 3 см, А2 = 2 см, t1 = 1/6 с, t2 = 1/3 с, Т = 2 с. Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.

Решение. Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени t = 0. Преобразовав оба уравнения к канонической форме

х = A cos(wt+j), получим

Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту

.

Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны

с -1 ;

Изобразим векторы А1 и А2. Для этого отложим отрезки длиной А1 = 3 см и А2 = 2 см под углами j1 = 30 о и j2 = 60 о к оси 0х. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой w и амплитудой А, равной геометрической сумме амплитуд А1 и А2:А = А1 + А2. Согласно теореме косинусов:

Начальную фазу результирующего колебания можно также определить непосредственно из векторной диаграммы (рис. 3):

см = 4,84 см;

или j = 0,735 рад.

Так как результирующее колебание является гармоническим, имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания, то его можно записать в виде

где А = 4,84 см, w = 3,14 с -1 , j = 0,735 рад.

Динамика вращательного движения

Момент M Силы F относительно какой-нибудь оси вращения определяется формулой

M=Fl,

Где L – кратчайшее расстояние от прямой, вдоль которой действует сила, до оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно какой-нибудь оси вращения называется величина

J=Mr2,

Где M – масса материальной точки и R – ее расстояние до оси вращения.

Моментом инерции твердого тела относительно его оси вращения

,

Где интегрирование должно быть распределено навесь объем тела. Производя интегрирование можно получить момент инерции тела любой формы.

Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

,

Где R – радиус цилиндра и M – его масса.

Момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом R1 и внешним R2 относительно оси цилиндра

,

Для тонкостенного полого цилиндра R1≈ R2=R и JMR2.

Момент инерции однородного шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр,

.

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему,

.

Если для какого-либо тела известен его момент инерции J0 относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельно первой, может быть найден по формуле Штейнера

J=J0+Md2,

Где M – масса тела и D – расстояние от центра масс тела до оси вращения.

Основной закон динамики вращательного движения (закон сохранения момента импульса) выражается уравнением

M·Dt=DL=D(Jω),

Где M – момент сил, приложенных к телу, L – момент импульса тела (J – момент инерции тела, ω – его угловая скорость). Если J=const, то

,

Где ε – угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента сил M.

Кинетическая энергия вращающегося тела

,

Где J –момент инерции тела и ω – его угловая скорость.

3. 1. Вывести формулу для момента инерции тонкого кольца радиусом R и массой M относительно оси симметрии. Ответ: J = MR2.

3. 2. Определить момент инерции сплошного однородного диска радиусом R = 40 см и массой M = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Ответ: 0,12 кг·м2.

3. 3. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной L = 50 см и массой M = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины. Ответ: 1) 3·10-2 кг·м2; 2) 1,75·10-2 кг·м2.

3. 4. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра. Ответ: В 1,07 раза.

3. 5. Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определить кинетическую энергию Т1 поступательного и Т2 вращательного движения диска. Ответ: Т1 = 16 Дж, Т2 = 8 Дж.

3. 6. Полый тонкостенный цилиндр массой M = 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену υ1=1,4 м/с, после удара υ’1=1 м/с. Определить выделявшееся при ударе количество теплоты Q. Ответ: Q=M(υ12- υ’12) = 0,48 Дж.

3. 7. Однородный стержень длиной L = 1 м и массой M = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением ε вращается стержень, если на него действует момент сил М = 98,1 мН·м? Ответ: 2,35 рад/с2.

3. 8. К ободу однородного сплошного диска массой M = 10 кг, насажанного на ось, приложена постоянная касательная сила F = 30 H. Определить кинетическую энергию диска через время T = 4 с после начала действия силы. Ответ: 1,44 кДж.

3. 9. Маховое колесо, момент инерции которого J = 245 кг·м2, вращается с частотой N=20 об/с. Через время T = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения МТр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском. Ответ: 513 Н·м; 600.

3. 10. Шар радиусом R = 10 см и массой M = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = А + ВT2 + СT3 (В = 2 рад/с2, С = –0,5 рад/с3). Определить момент сил М для T = 3 с. Ответ: –0,1 Н·м.

3. 11. Вентилятор вращается с частотой N = 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: момент М сил торможения; 2) момент инерции J вентилятора. Ответ: 1) 0,1 Н·м; 2) 15,9 мН·м.

3. 12. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=150 кг·м2, вращается с частотой N = 240 об/мин. Через время T=1 мин, как на маховик стал действовать момент сил торможения, он остановился. Определить: 1) момент М сил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки. Ответ: 1) 62,8 Н·м; 2) 120.

3. 13. Сплошной однородный диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Определить линейное ускорение А центра диска. Ответ: A = 2/3GSinα.

3. 14. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 400 H. При вращении диска на него действует момент сил трения Мтр = 2 Н·м. Определить массу M диска, если известно, что его угловое ускорение ε постоянно и равно 16 рад/с2. Ответ: 24 кг.

3. 15. Частота вращения NO маховика, момент инерции J которого равен 120 кг·м2, составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время T = π мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определить момент М сил трения. Ответ: 16 Н·м.

3. 16. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=1,5 кг·м2, вращаясь при торможении равнозамедленно, за время T= 1 мин уменьшил частоту своего вращения с N0 = 240 об/мин до N1 = 120 об/мин. Определить: 1) угловое ускорение ε маховика; 2) момент М силы торможения; 3) работу торможения А. Ответ: 1) 0,21 рад/с2, 2) 0,047 Н·м; 3) 355 Дж.

3. 17. Колесо радиусом R = 30 см и массой M = 3 кг скатывается по наклонной плоскости длиной 1 = 5 м и углом наклона α = 25°. Определить момент инерции колеса, если его скорость υ в конце движения составляла 4,6 м/с. Ответ: 0,259 кг·м2.

3. 18. С наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° к горизонту, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см. Ответ: 0,585 с.

3. 19. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 50 cм намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой M = 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением А = 2 м/с2. Определить: 1) момент инерции J вала; 2) массу М вала. Ответ: 1) 6,25 кг·м2; 2) 50 кг.

3. 20. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0,15 кг·м2, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой M = 0,5кг. До начала вращения барабана высота H груза над полом составляла 2,3 м. Определить: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол. Ответ: 1) 2 с; 2) 4,31 Н; 3) 1,32 Дж.

3. 21. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой M = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами M1= 0,35 кг и M2 = 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение грузов; 2) отношение T2/T1 сил натяжения нити. Ответ: 1) 1,96 м/с2; 2) 1,05.

3. 22. Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой N = 5 об/с, WК = 60 Дж. Найти момент импульса L вала. Ответ: 3,8 кг·м2/с.

3. 23. Карандаш длиной L=15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую скорость ω и линейную скорость υ будут иметь в конце падения середина и верхний конец карандаша? Ответ: ωс= ωк=14 рад/с; υс=1,05 м/с, υк=2,1 м/с.

3. 24. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε = 0,4 рад/с2. Определить кинетическую энергию маховика через время T2 = 25 с после начала движения, если через T1 = 10 с после начала движения момент импульса L1 маховика составлял 60кг·м2/с. Ответ: 1) ЕК = 75 Дж.

3. 25. Горизонтальная платформа массой M = 25 кг и радиусом R = 0,8 м вращается с частотой N1 = 18 мин-1. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J1 = 3,5 кг·м2 до J2 = 1 кг·м2. Ответ: 23 мин-1.

3. 26. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной L = 2,5 м и массой M = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции J = 10 кг·м2 и вращается с частотой N1 = 12 мин-1. Определить частоту N2 вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение. Ответ: 8,5 мин-1.

3. 27. Человек массой T = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой N1=10 мин-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить, с какой частотой будет тогда вращаться платформа. Ответ: 20 мин-1.

3. 28. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определять, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы. Ответ: Возрастет в 1,43 раза.

3. 29. Человек массой M = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом R = 1 м массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой N1 = 10 мин-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру. Ответ: 65,8 Дж.

3. 30. Однородный стержень длиной L = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний Т стержня. Ответ: 1,16 с.

3. 31. Обруч диаметром D = 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период колебаний Т обруча. Ответ: 1,5 с.

Основной закон динамики вращательного движения

В инерциальной системе отсчёта угловое ускорение , приобретаемое телом, вращающимся относительно неподвижной оси, пропорционально суммарному моменту всех внешних сил , действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно данной оси:

. (I.109)

Можно дать и более простую формулировку основному закону динамики вращательного движения (его ещё называют вторым законом Ньютона для вращательного движения): вращающий момент равен произведению момента инерции на угловое ускорение:

. (I.110)

Моментом импульса (моментом количества движения, угловым моментом) тела называется произведение его момента инерции на угловую скорость :

. (I.111)

Момент импульса – векторная величина. Его направление совпадает с направлением вектора угловой скорости.

Изменение момента импульса определяется следующим образом:

. (I.112)

Изменение момента импульса (при неизменном моменте инерции тела) может произойти, только вследствие изменения угловой скорости и всегда обусловлено действием момента силы .

Согласно формуле , а также формулам (I.110) и (I.112) изменение момента импульса можно представить в виде:

. (I.113)

Произведение в формуле (I.113) называется импульсом момента силы или движущим моментом. Он равен изменению момента импульса.

Формула (I.113) справедлива при условии, что момент силы не меняется с течением времени . Если же момент силы зависит от времени, т.е. , то

. (I.114)

Формула (I.114) показывает, что: изменение момента импульса равно интегралу по времени от момента силы. Кроме того, если эту формулу представить в виде: , то из неё будет следовать определение момента силы: мгновенный момент силы представляет собой первую производную момента импульса по времени,

. (I.115)

Выражение (I.115) является ещё одной формой основного уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Вопрос 15

Момент инерции

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстоянии до рассматриваемой оси:

J=

Суммирование производится по всем элементарным массам m(i), на которые разбивается тело

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина г в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси. Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом г и внешним г + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра d,/ = r^2 dm (так как dr≤r то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно г), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2πrhrdr. Если р — плотность материала, то dm = 2πhpr^3dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

J=

но так как πR^3h — объем цилиндра , то его масса m= πR^2hp , а момент инерции

Теорема Штейнера

Момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния а между осями:

J= + ma^2

* Формула позволяет рассчитать моменты инерции тел простейшей формы относительно некоторых осей.

1. Момент инерции однородного прямого тонкого цилиндрического стержня длины и массы относительно оси проходящей через его середину и перпендикулярной к его длине:

2. Момент инерции однородного сплошного цилиндра (или диска) радиуса и массы относительно оси симметрии перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр:

3. Момент инерции цилиндра радиуса , массы и высоты относительно оси, перпендикулярной к его высоте и проходящей через её середину:

4. Момент инерции шара (тонкостенной сферы) радиуса и массы относительно его диаметра (или оси проходящей через центр сферы):

5. Момент инерции стержня длины и массы , относительно оси проходящей через один из его концов и перпендикулярной к его длине:

6. Момент инерции полого тонкостенного цилиндра радиуса и массы , относительно оси цилиндра:

7. Момент инерции цилиндра с отверстием (колесо, муфта):

,

где и — радиусы цилиндра и отверстия в нём.

16.

Векторное произведение радиуса-вектора материальной точки на ее импульс: называют моментом импульса , этой точки относительно точки

Модуль вектора момента импульса равен:

, то есть .

Для замкнутой системы тел момент внешних сил всегда равен нулю, так как внешние силы вообще не действуют на замкнутую систему.

Поэтому ,

то есть или

Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения.
Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю.

Гироскоп (пример:юла) – симметричное тело, вращающиеся вокруг своей оси с большой скоростью.

Момент количества движения гироскопа совпадает с его осью вращения.

17.

Электрический заряд – это мера участия тел в электромагнитных взаимодействиях.

Существует два рода электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательными.

.

Электрическое поле – это особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между заряженными частицами.

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора напряжённости совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

Силовые линии кулоновских полей положительных и отрицательных точечных зарядов :

Основной закон динамики вращательного движения

Основной закон динамики

Динамика изучает причины движения тел. И основной закон динамики – Второй Закон Ньютона – связывает ускорение, получаемое телом, с силой, действующей на тело.

Для прямолинейного движения основной закон динамики записывается следующим образом:

То есть, ускорение, получаемое телом, прямо пропорционально силе, действующей на тело (точнее, равнодействующей всех сил) и обратно пропорционально массе тела. Направлено это ускорение в ту же сторону, в которую направлена и сила.

Рис. 1. Второй закон ньютона.

Особенности вращательного движения

Основное отличие вращательного движения в том, что поворот всегда осуществляется вокруг некоторой оси.

Рис. 2. Примеры вращательного движения.

Поэтому в таком движении всегда существует центростремительное ускорение, изменяющее направление мгновенной скорости. Однако, если на тело не действует никаких внешних сил, модуль мгновенной скорости вращательного движения будет оставаться постоянным.

Для того, чтобы изменился модуль скорости вращательного движения, необходимо приложить к телу дополнительную силу. Она, согласно Основному Закону динамики создаст ускорение, которое изменит скорость тела. Ускорение при этом получается угловым (обозначается $varepsilon$).

Кроме того, для вращательного движения необходимо учитывать расстояние от оси вращения до точки приложения этой силы – плечо силы $l_F $. Учет массы материальных точек также должен вестись относительно оси вращения.

Для учета расположения оси вращения сила и масса во Втором Законе Ньютона для вращательного движения заменяются моментом силы и моментом инерции соответственно. Момент силы $M$ равен произведению модуля силы $F$ на плечо силы $l_F$ (расстояние от точки приложения до оси вращения). Момент инерции $J$ равен произведению массы материальной точки $m$ на квадрат расстояния от нее до оси вращения $l_F$. Ускорение получается угловым $varepsilon$.

Основной закон динамики для вращательного движения

В итоге, основной закон динамики вращательного движения принимает вид:

Закон в таком виде близок к закону для поступательного движения. Однако, поскольку вращение происходит по известной траектории, а угловые ускорение и скорость всегда направлены по касательной к ней, то форма этого закона – скалярная. Кроме того, если внешняя сила имеет другое направление, то необходимо брать не ее модуль, а модуль ее проекции на касательную.

Рис. 3. Аналогия величин для поступательного и вращательного движения.

Необходимо также обратить внимание на то, что момент инерции материальной точки зависит от квадрата плеча. Это происходит потому, что сила, которая влияет на вращающееся тело и сообщает ему угловое ускорение, тем самым изменяет его угловую скорость, а значит, и центростремительное ускорение. Таким образом, масса материальной точки при вращении «сопротивляется» сильнее – внешней силе необходимо сообщить не только ускорение по направлению касательной (тангенциальное), но и центростремительное.

Что мы узнали?

Основной закон динамики вращательного движения аналогичен основному закону динамики для поступательного движения. Вместо силы в нем используется момент силы. Вместо массы используется момент инерции. Ускорение, получаемое материальной точкой, получается угловым.

Параметры вращательного движения

Возможно, что колесо, изобретенное человеком давным-давно, явилось главным его изобретением, позволившим решить многие инженерные задачи. Развитие технического прогресса абсолютно невозможно без колеса и многих его производных.

Основные формулы прямолинейного движения и их аналоги в движении вращательном.

Прямолинейное движениеВращательное движение
v = Δs/Δt
v — скорость;
Δs — перемещение;
Δt — время перемещения.
ω = ΔΘ/Δt
ω — угловая скорость;
ΔΘ — угол поворота;
Δt — время поворота на угол ΔΘ.
a = Δv/Δt
a — ускорение;
Δs — изменение скорости;
Δt — время изменения скорости
α = Δω/Δt
α — угловое ускорение;
Δω — изменение угловой скорости;
Δt — время изменения угловой скорости.
Δs = v0(t1-t0)+ 1 /2a(t1-t0) 2
v0 — начальная скорость;
t0 — начальный момент времени;
t1 — конечный момент времени.
Θ = ω0(t1-t0)+ 1 /2a(t1-t0) 2
ω0 — начальная угловая скорость
t0 — начальный момент времени;
t1 — конечный момент времени.
v1 2 -v0 2 = 2aΔs
v1 — конечная скорость
ω1 2 -ω0 2 = 2aΔs
ω1 — конечная скорость

В повседневной жизни большинство объектов движутся по сложным траекториям, которые, как правило, состоят из поступательного и вращательного движений.

Поступательным движением называют такое движение тела, при котором любая прямая, связанная с движущимся объектом, всегда остается параллельной самой себе.

Вращательным движением называют такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям.

В свою очередь, вращательное движение подразделяется на тангенциальную и радиальную составляющие:

  • Тангенциальное движение — часть вращательного движения, происходящего по касательной к окружности вращения, скорость тангенциального движения материальной точки называют линейной скоростью вращательного движения.
  • Радиальное (нормальное) движение — часть вращательного движения, происходящего перпендикулярно (по нормали) к касательной или вдоль радиуса окружности.

Параметры прямолинейного и вращательного движений можно связать следующими формулами:

На рисунке ниже представлен пример вращательного движения:

Объект движется по окружности с радиусом r и линейной скоростью v, которая является векторной величиной (обладает величиной и направлением, перпендикулярным радиус-вектору r).

Используя описанные выше формулы, попробуем решить несложную задачу, и определить с какой скоростью движется автомобиль, если его колеса, радиусом 50 см, вращаются с угловой скоростью 10π?

Для решения поставленной задачи воспользуемся формулой связи линейной и угловой скорости: Подставим значения, и получим:

Тангенциальное ускорение

Тангенциальным ускорением называют скорость изменения величины линейной скорость вращательного движения.

Попробуем связать линейное и угловое ускорения.

Формула линейного ускорения имеет вид:

  • a — линейное ускорение;
  • Δv — изменение линейной скорости;
  • Δt — время изменения линейной скорости.

Формула углового ускорения имеет вид:

  • α — угловое ускорение;
  • Δω — изменение угловой скорости;
  • Δt — время изменения угловой скорости.

Между собой линейная и угловая скорости связаны формулой:

Подставим это выражение в формулу линейного ускорения:

Преобразуем полученное выражение, вынеся за скобки радиус, поскольку он является постоянной величиной:

Учитывая формулу углового ускорения, производим замену:

В итоге, получена формула связи линейного и углового ускорения:

Тангенциальное ускорение равно произведению радиуса на угловое ускорение.

Центростремительное ускорение

Центростремительным ускорением называют ускорение, которое необходимо для удержания объекта на круговой орбите вращательного движения.

Попробуем связать центростремительное ускорение с угловой скоростью.

Центростремительное ускорение вычисляется по формуле:

Линейная и угловая скорости связаны отношением:

Подставляем одну формулу в другую:

Таким образом, зная угловую скорость объекта и радиус его движения, можно определить величину центростремительного ускорения объекта.

Применим теоретические знания на практике, и рассчитаем центростремительную силу, необходимую для удержания Земли на своей орбите (принимать во внимание гравитационные воздействия других планет Солнечной системы не будем).

Земля делает полный оборот вокруг Солнца за 365 дней (это не совсем так, но не будем углубляться в нюансы, нам важен сам принцип вычисления). Другими словами, за 365 дней Земля проходит путь в 2π радиан. Таким образом, угловая скорость движения Земли равна:

Преобразуем дни в секунды, чтобы получить значение угловой скорости в стандартных единицах: 365 дней = 31 536 000 секунд = 3,1536·10 7 .

Подставляем значение в секундах в предыдущую формулу:

Средний радиус земной орбиты равен 150 млн. км или 1,5·10 11 м. Подставляя числовые значения в формулу центростремительного ускорения получим:

Масса Земли примерно равна 6·10 24 кг. Вычисляем центростремительную силу, необходимую для удержания Земли на ее орбите:

Если вам понравился сайт, будем благодарны за его популяризацию 🙂 Расскажите о нас друзьям на форуме, в блоге, сообществе. Это наша кнопочка:

Код кнопки:
Политика конфиденциальности Об авторе

Вращательное движение: примеры, формулы

Физика твердого тела изучает множество различных видов движения. Основные из них — это поступательное движение и вращение по неподвижной оси. Также существуют и их комбинации: свободное, плоское, криволинейное, равноускоренное и другие разновидности. Каждое движение имеет свои особенности, но и сходство между ними, конечно, есть. Рассмотрим, какое движение называется вращательным и приведем примеры такого движения, проведя аналогию с движением поступательным.

Законы механики в действии

На первый взгляд кажется, что вращательное движение, примеры которого мы наблюдаем в повседневной деятельности, нарушает законы механики. В чем можно заподозрить это нарушение и каких законов?

Например, закон инерции. Всякое тело, когда на него не действуют неуравновешенные силы, должно или находиться в состоянии покоя, или совершать равномерное прямолинейное движение. Но если дать глобусу боковой толчок, он начнет вращаться. И он, скорее всего, вращался бы вечно, если бы не трение. Как и отличный пример вращательного движения – земной шар – вращается постоянно, никем не подталкиваемый. Получается, что первый закон Ньютона в этом случае не действует? Это не так.

Что движется: точка или тело

Вращательное движение отличается от поступательного, но между ними есть и много общего. Стоит сопоставить и сравнить эти виды, рассмотреть примеры поступательного и вращательного движения. Для начала следует строго разграничить механику материального тела и механику материальной точки. Вспомним определение поступательного движения. Это такое движение тела, при котором каждая его точка движется одинаково. Это означает, что все точки физического тела в каждый конкретный момент времени имеют одинаковую по модулю и направлению скорость и описывают одинаковые траектории. Поэтому, поступательное движение тела можно рассматривать как движение одной точки, а точнее, движение его центра масс. Если на такое тело (материальную точку) не будут действовать другие тела, то оно находится в покое, или движется прямолинейно и равномерно.

Сравнение формул для вычисления

Примеры вращательного движения тел (глобус, колесо) показывают, что вращение тела характеризуется угловой скоростью. Она обозначает, на какой угол оно повернется за единицу времени. В технике угловую скорость часто выражают числом оборотов в минуту. Если угловая скорость постоянна, то можно говорить, что тело вращается равномерно. Когда угловая скорость равномерно возрастает, то вращение называется равноускоренным. Сходство законов поступательного и вращательного движений очень значительно. Отличаются только буквенные обозначения, а формулы вычисления – одинаковы. Это хорошо видно в таблице.

Учебники

Разделы физики

Журнал «Квант»

Лауреаты премий по физике

Общие

Слободянюк А.И. Физика 10/3.6

§3. Криволинейное движение. Плоскопараллельное движение твердого тела

3.6 Плоскопараллельное движение

Движение твердого тела называется плоскопараллельным, если траектории движения всех его точек являются плоскими кривыми, лежащими в параллельных плоскостях.

Плоскопараллельное движение твердого тела можно представить как суперпозицию поступательного движения и вращения вокруг оси, направление которой не изменяется. Наглядными примерами такого движения являются качение колеса, движение книги без отрыва от стола и т.д.

Для описания положения абсолютно твердого тела при плоскопараллельном движении необходимо задать две декартовые координаты какой-либо точки тела [1] и угол его поворота, то есть плоскопараллельное движение обладает тремя степенями свободы.

Выберем внутри тела две точки A, B; зададим координаты xA, yA точки A и угол φ, который образует отрезок AB с направлением оси X. Три числа xA, yA и φ однозначно определяют положение тела на плоскости, следовательно, являются его координатами. Зная эти координаты, можно определить положение в пространстве любой другой точки твердого тела путем геометрических построений.

Покажем теперь, как можно найти скорость любой точки твердого тела при плоскопараллельном движении (рис. 36).

Разложим движение на две составляющих — поступательное движение, скорость которого обозначим (

vec V) , и вращение вокруг оси, проходящей через точку A, с угловой скоростью (

omega = frac) . Тогда скорость любой другой точки тела (например, B) является векторной суммой скоростей поступательного и вращательного движений —

vec V_B = vec V + vec V_) , (1)

причем вектор скорости вращательного движения направлен перпендикулярно отрезку AB и равен по абсолютной величине VBP = ωr, где r расстояние от точки B до оси вращения.

Рассмотрим катящееся без проскальзывания колесо радиуса R (рис. 37).

Пусть его центр движется со скоростью (

vec V). Найдем скорости некоторых других точек колеса. Для этого представим движение колеса как сумму поступательного движения его центра и вращения вокруг его оси. Так как движение происходит без проскальзывания, то угловая скорость вращения определяется формулой (

omega = frac). Для точек, находящихся на ободе колеса линейная скорость вращательного движения равна по модулю скорости поступательного движения, так как для них расстояние до оси вращения равно радиусу колеса, поэтому (

V_ = omega r = frac R = V) . Однако, направление этой скорости различно для разных точек. Так, для точки A скорость вращательного движения направлена горизонтально, также как и скорость поступательного движения. Поэтому суммарная скорость точки A равна 2V и направлена горизонтально. Скорость вращательного движения точки B направлена вертикально вверх, поэтому ее полная скорость направлена под углом 45° к горизонту, а ее модуль (

V_B = V sqrt<2>) . Очень интересна точка касания с поверхностью C : скорость ее вращательного движения направлена горизонтально в сторону противоположную скорости поступательного движения, поэтому ее полная скорость равна нулю.

Так как разложение движения на составляющие не является однозначным, можно теперь представить качение колеса как сумму движения точки C и вращения вокруг оси, проходящей через эту точку. Мы показали, что скорость точки C равна нулю, поэтому появляется возможность рассматривать движение колеса как чистый поворот вокруг точки C. Правда, это возможно в течение только бесконечно малого промежутка времени, потому, что в следующий момент точкой касания будет другая точка колеса. Множество точек твердого тела, скорости которых в данный момент равны нулю, образуют мгновенную ось вращения тела. Такая ось существует при любом движении твердого тела. Правда положение этой оси постоянно изменяется, поэтому для вычисления координат точек такое представление движения не дает особых преимуществ. Но для вычисления скоростей точек, рассматривать плоскопараллельное движение как чистый поворот очень удобно.

Легко доказать, что угол поворота тела не зависит от того, относительно какой оси мы его рассматриваем, следовательно, и угловая скорость не зависит от оси. С этой точки зрения, скорость любой точки колеса определяется формулой V = ωr’ , где r’ — расстояние от данной точки до мгновенной оси вращения.

Рассмотренная задача об определении скоростей точек катящегося колеса может быть легко решена, если рассматривать его движение как поворот вокруг точки C (рис. 38): точка A находится на расстоянии 2R от мгновенной оси вращения, поэтому ее скорость равна VA = 2 = 2V; точка B находится на расстоянии (

R sqrt<2>) от оси, ее скорость (

V sqrt<2>). Направления векторов скоростей также совпадают с полученными ранее.

Таким образом, мы имеем два примерно одинаковых по сложности способа описания движения твердого тела: первый — суперпозиция поступательного и вращательного движений: второй — поворот вокруг мгновенной оси.

Поступательное и вращательное движение

Вы будете перенаправлены на Автор24

Существует пять видов движения твердого тела:

  1. поступательное движение;
  2. вращение вокруг неподвижной оси;
  3. плоское движение;
  4. вращение вокруг неподвижной точки;
  5. свободное движение.

Первые два называются простейшими движениями твердого тела. Остальные виды движений можно представить как комбинацию основных движений.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Любое прямолинейное движение является поступательным. Однако поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями.

Рис.1 Поступательное криволинейное движение кабин колеса обзора

Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Из теоремы следует, что поступательное движение твердого тела определяется движением какой-нибудь одной из его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематике точки.

При поступательном движении общую для всех точек тела скорость $overrightarrow $ называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение $overrightarrow $ — ускорением поступательного движения тела. Векторы $overrightarrow $ и $overrightarrow $ можно изображать приложенными в любой точке тела.

Заметим, что понятие о скорости и ускорении тела имеют смысл только при поступательном движении. Во всех остальных случаях точки тела, движутся с разными скоростями и ускорениями, и термины «скорость тела» или «ускорение тела» для этих движений теряют смысл.

Вращательным движением абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось Az, полуплоскость — неподвижную и полуплоскость, врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним (рис. 2).

Рисунок 2. Угол поворота тела

Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком углом $varphi $ между этими полуплоскостями, который назовем углом поворота тела. Будем считать угол $varphi $ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол $varphi $ будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла $varphi $ от времени t, т.е. $$=f(t). Это уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси углы поворота радиуса-вектора различных точек тела одинаковы.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость $omega $ и угловое ускорение $varepsilon $.

Уравнения, описывающие вращательное движение, можно получить из уравнений поступательного движения, произведя в последних следующие замены: перемещение s — угловое перемещение (угол поворота) $varphi $, скорость u — угловая скорость $omega $, ускорение a — угловое ускорение $varepsilon $.

Материальная точка движется по прямой. Уравнение ее движения $s = t^4 + 2t^2 + 5$. Определить мгновенную скорость и ускорение точки в конце второй секунды от начала движения, среднюю скорость и путь, пройденный за это время.

Тело вращается вокруг неподвижной оси. Уравнение его движения $$ = $t^4 + 2t^2 + 5$. Определить мгновенную угловую скорость и угловое ускорение тела в конце второй секунды от начала движения, среднюю угловую скорость и угол поворота за это время.

Примеры решения задач

Пример 1. Ротор электродвигателя вращается со скоростью, описываемой уравнением

ω = πt.

Определить вид движения.

Решение

1. Анализируем выражение для скорости: скорость меняется и зависит от времени линейно. Следовательно, угловое ускорение — постоянно, ε = ω’ = 2π = const.

2. Движение равнопеременное (равноускоренное, т.к. ускорение положительно).

Пример 2 Тело вращалось равноускорено из состояния покоя и сделало 360 оборотов за 2 мин. Определить угловое ускорение.

Решение

1. Один оборот равен радиан. Следовательно:

360 оборотов = 720π рад, φ = 720π рад.

2.

Закон равнопеременного вращательного движения

Пример 3. Тело вращалось с угловой частотой 1200 об/мин. Затем движение стало равнозамедленным, и за 30 секунд скорость упала до 900 об/мин. Определить число оборотов тела за это время и время до полной остановки. Использовать пункт 1 примера 3.

Решение

1. Построить график изменения скорости за 30 с (рис. 11.9).

Определяем угловую скорость вращения тела:

Определяем угловое ускорение:

Определяем угол поворота за прошедшее время:

Число оборотов за 30 с:

2. Определяем время до полной остановки.

Скорость при остановке равна нулю, ω = 0.

Таким образом, ω = ω0 + ε t 0 = ω0 + ε t

Пример 5. Маховое колесо вращается равномерно со скоро­стью 120 об/мин (рис. 11.10). Радиус колеса 0,3 м. Определить ско­рость и полное ускорение точек на ободе колеса, а также скорость точки, находящейся на расстоянии 0,15 м от центра.

Решение

Касательное ускорение точки A atA = 0; нормальное ускорение точки А аnA = ω 2 rA

апA = (12,56) 2 • 0,3 = 47,3м/с 2 . 5. Полное ускорение точек на ободе колеса

Пример 9. Точка А, лежащая на ободе равно­мерно вращающегося шкива, движется со скоростью v = 2 м/с и нормальным ускоре­нием ап = 5 м/с 2 . Определить ра­диус шкива OA и величину угло­вой скорости (рис. 1.46).

Решение

Здесь для решения следует воспользоваться известны­ми соотношениями для линейной скорости и нормального ускорения точек вращающегося тела:

Если второе уравнение разделить на первое, найдем угловую скорость вращения шкива:

Контрольные вопросы и задания

1. Какими кинематическими параметрами характеризуется по­ступательное движение и почему?

2. Запишите уравнение равномерного поступательного движе­ния твердого тела.

3. Запишите уравнение равнопеременного поступательного дви­жения твердого тела.

4. Запишите уравнения равномерного и равнопеременного вра­щательного движений твердого тела.

5. Задано уравнение движения тела S = f(t). Как определяют скорость и ускорение?

6. Для заданного закона (уравнения) движения

φ = 6,28 + 12t + 3t 2 выберите соответствующий кинематический график движения (рис. 11.11).

Дата добавления: 2017-09-01 ; просмотров: 5564 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

0 0 голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector